有理数

拾数记数理笔记｜初一上册有理数全章节习题汇总，梳理正数负数、数轴、绝对值、有理数运算知识点，配套习题与答案，自学预习复习都适用。

October 12, 1977 更新于 June 26, 2026 题库 4 分钟阅读

指出下列数中的正整数、负整数、正有理数、负有理数：

$-\frac{3}{11},\ 16,\ -9.7,\ -0.56,\ -1.25,\ -10,\ 0,\ 103,\ \frac{17}{5},\ -111,\ 16.53.$
【参考答案】
- 正整数： $16,\ 103$
- 负整数： $-10,\ -111$
- 正有理数： $16,\ 103,\ \frac{17}{5},\ 16.53$
- 负有理数： $-\frac{3}{11},\ -9.7,\ -0.56,\ -1.25,\ -10,\ -111$
(注： $0$ 既不是正数也不是负数，所以不属于以上任何一类。)
下列各数是否存在？如果存在，是多少？

（1）最小的正整数；

（2）最大的负整数；

（3）最小的负整数；

（4）最小的正有理数。
【参考答案】
1. 正整数序列 $1,2,3,\dots$ ，从 $1$ 开始递增，最小正整数为 $1$ ；
2. 负整数序列 $-1,-2,-3,\dots$ ，越靠近 $0$ 数值越大，最大负整数是 $-1$ ；
3. 任取负整数 $n$ ， $n-1$ 仍是更小的负整数，无最小负整数；
4. 若存在最小正有理数 $a>0$ ，则 $0<\dfrac{a}{2}<a$ ，与假设矛盾，故不存在。

如图，点 A，B，C 为数轴上的三个点。

(1) 如果把点 A 向右移动 4 个单位长度到点 D，那么点 B，C，D 表示的数中，哪个数最小？

(2) 如果把点 C 向左移动 7 个单位长度到点 E，那么点 B 表示的数比点 E 表示的数大多少？
【参考答案】
1. 点 $B$ 表示的数最小。
  
  步骤： 点 $D = -5 + 4 = -1$ 。比较 $B(-2)$ ， $C(3)$ ， $D(-1)$ ，可知 $-2$ 最小。
2. 大 $2$ 。
  
  步骤： 点 $E = 3 - 7 = -4$ 。计算： $-2 - (-4) = 2$ 。

根据下列要求，分别写出各数：

（1）绝对值是 0.8 的负数；

（2）绝对值是 5 的数；

（3）比 -5 大的负整数；

（4）绝对值小于 3 的非负整数．
【参考答案】
1. $-0.8$
2. $5$ 或 $-5$ （或写为 $\pm 5$ ）
3. $-4, -3, -2, -1$
4. $0, 1, 2$
  
  注意：“非负整数”包含正整数和 $0$ 。

计算：

（1） $(-3) + (-2) + (-1) + (-7) + 7$ ;

（2） $4 + (-2) + (-4) + 2 + (-5)$ ;

（3） $(-2.75) + 2.5 + (-7.25) + 10.5$ ;

（4） $\left(-3\frac{1}{4}\right) + \left(-6\frac{3}{10}\right) + \frac{1}{4} + \left(-3\frac{1}{8}\right) + \left(-\frac{7}{10}\right)$ .

【参考答案】

(1)
$\begin{aligned} \text{原式} &= (-3) + (-2) + (-1) + [(-7) + 7] \\ &= (-6) + 0 \\ &= -6 \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \text{原式} &= [4 + (-4)] + [(-2) + 2] + (-5) \\ &= 0 + 0 + (-5) \\ &= -5 \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} \text{原式} &= [(-2.75) + (-7.25)] + (2.5 + 10.5) \\ &= (-10) + 13 \\ &= 3 \end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned} \text{原式} &= \left[\left(-3\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{4}\right] + \left[\left(-6\frac{3}{10}\right) + \left(-\frac{7}{10}\right)\right] + \left(-3\frac{1}{8}\right) \\ &= (-3) + (-7) + \left(-3\frac{1}{8}\right) \\ &= (-10) + \left(-3\frac{1}{8}\right) \\ &= -13\frac{1}{8} \end{aligned}$

计算：

（1） $0 \div (-6) \times 200$ ;

（2） $(-100) \div \left(-\frac{1}{9}\right) \times 9$ ;

（3） $2 \div \left(-\frac{2}{9}\right) \times \frac{1}{9}$ ;

（4） $\frac{2}{3} \div \left(-\frac{9}{16}\right) \div \frac{3}{4}$ ;

（5） $(-72) \div (-3) \times 2 \div (-6)$ ;

（6） $(-52) \div \left(-\frac{9}{4}\right) \div (-13) \times \frac{9}{4}$ .

【参考答案】

(1)

\begin{aligned} \text{原式} &= 0 \div (-6) \times 200 \\ &= 0 \times 200 \\ &= 0 \end{aligned}

(2)

\begin{aligned} \text{原式} &= (-100) \div \left(-\frac{1}{9}\right) \times 9 \\ &= (-100) \times (-9) \times 9 \\ &= 900 \times 9 \\ &= 8100 \end{aligned}

(3)

\begin{aligned} \text{原式} &= 2 \div \left(-\frac{2}{9}\right) \times \frac{1}{9} \\ &= 2 \times \left(-\frac{9}{2}\right) \times \frac{1}{9} \\ &= (-9) \times \frac{1}{9} \\ &= -1 \end{aligned}

(4)

\begin{aligned} \text{原式} &= \frac{2}{3} \div \left(-\frac{9}{16}\right) \div \frac{3}{4} \\ &= \frac{2}{3} \times \left(-\frac{16}{9}\right) \times \frac{4}{3} \\ &= -\frac{2 \times 16 \times 4}{3 \times 9 \times 3} \\ &= -\frac{128}{81} \end{aligned}

(5)

\begin{aligned} \text{原式} &= (-72) \div (-3) \times 2 \div (-6) \\ &= 24 \times 2 \div (-6) \\ &= 48 \div (-6) \\ &= -8 \end{aligned}

(6)

\begin{aligned} \text{原式} &= (-52) \div \left(-\frac{9}{4}\right) \div (-13) \times \frac{9}{4} \\ &= (-52) \times \left(-\frac{4}{9}\right) \times \left(-\frac{1}{13}\right) \times \frac{9}{4} \\ &= -\left[ \left(52 \times \frac{1}{13}\right) \times \left(\frac{4}{9} \times \frac{9}{4}\right) \right] \\ &= -(4 \times 1) \\ &= -4 \end{aligned}

计算：

(1) $3^3 - (-3)^3 + (-2)^4 - 2^2$ ;

(2) $-50 \div (-5)^2$ .

【参考答案】

(1)
$\begin{aligned} \text{原式} &= 27 - (-27) + 16 - 4 \\ &= 27 + 27 + 16 - 4 \\ &= 54 + 16 - 4 \\ &= 70 - 4 \\ &= 66 \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \text{原式} &= -50 \div 25 \\ &= -2 \end{aligned}$
目前将纸对折次数的世界纪录是 13 次．假如一张纸的厚度是 $0.01\text{ cm}$ ，用计算器计算将其对折 13 次后的厚度．要想对折后超过珠穆朗玛峰的高度，需要对折多少次？
【参考答案】
珠穆朗玛峰的高度约为 $8848.86\text{ m}$ （通常计算中取 $8848\text{ m}$ 或 $8849\text{ m}$ 均可，以下按 $8848.86\text{ m}$ 计算）。
统一单位： $0.01\text{ cm} = 0.0001\text{ m} = 10^{-4}\text{ m}$ 。
(1) 对折 13 次后的厚度
- 解析：每对折一次，厚度变为原来的 2 倍。对折 13 次后的厚度为初始厚度乘以 $2^{13}$ 。
- 计算：
  
  $2^{13} = 8192$
  
  $\text{厚度} = 0.01\text{ cm} \times 8192 = 81.92\text{ cm} \approx 0.82\text{ m}$
- 答案：对折 13 次后的厚度是 $81.92\text{ cm}$ （或 $0.8192\text{ m}$ ）。
(2) 超过珠穆朗玛峰高度需要的对折次数
- 解析：设需要对折 $n$ 次，则厚度为 $0.0001 \times 2^n\text{ m}$ 。我们需要满足：
  
  $0.0001 \times 2^n > 8848.86$
  
  $2^n > 88488600$
- 计算估算：已知 $2^{20} = 1048576 \approx 10^6$ （百万级）
  - 当 $n = 26$ 时， $2^{26} = 67108864 < 88488600$
  - 当 $n = 27$ 时， $2^{27} = 134217728 > 88488600$
- 答案：要想对折后超过珠穆朗玛峰的高度，需要对折 27 次。

计算：

(1) $8 - (-4) \div 2^2 \times 3$ ;

(2) $(-3)^3 \div (-3) \div 9$ ;

(3) $7 \times 3^2 \div 3 + (-3)^2$ ;

(4) $-5 + (-2)^4 - 2^4 \div (-2)^3$ .

【参考答案】

(1)
$\begin{aligned} \text{原式} &= 8 - (-4) \div 4 \times 3 \\ &= 8 - (-1) \times 3 \\ &= 8 - (-3) \\ &= 8 + 3 \\ &= 11 \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \text{原式} &= (-27) \div (-3) \div 9 \\ &= 9 \div 9 \\ &= 1 \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} \text{原式} &= 7 \times 9 \div 3 + 9 \\ &= 63 \div 3 + 9 \\ &= 21 + 9 \\ &= 30 \end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned} \text{原式} &= -5 + 16 - 16 \div (-8) \\ &= -5 + 16 - (-2) \\ &= 11 + 2 \\ &= 13 \end{aligned}$

正数与负数

数轴

绝对值与相反数

有理数的加法与减法

有理数的乘法与除法

有理数的乘方

有理数的混合运算