代数式

从算术思维迈向代数思维的关键一步！掌握用符号表示数的规则，熟练进行单项式、多项式及整式的加减化简。

July 1, 2024 初中 1 分钟阅读

代数基础示意图，以代数式8x+6为例，标注系数、变量、常数项、项的含义。

代数式（Algebraic Expressions）是从具体算术迈向抽象代数的重要桥梁。其核心目的，是学会用字母表示数，建立用符号解决数学与实际问题的代数思维。

用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。

单个的数或单个字母也是代数式（如 $5$ 、 $x$ ）。
注意：代数式中不能包含等号（ $=$ ）或不等号（ $>$ , $<$ , $\neq$ 等）。带有等号或不等号的是方程或不等式。

乘号的处理：
- 数与字母或字母与字母相乘时，乘号“ $\times$ ”常简记为“ $\cdot$ ”或直接省略（如 $3 \times a$ 记作 $3a$ ）。
- 数字与数字相乘时，不能省略乘号（如 $3 \times 5$ 不能写成 $35$ ）。
- 数字与字母相乘，数字必须写在字母前面（如 $a3$ 应写成 $3a$ ）。
带分数的处理：如果系数是带分数，必须化成假分数（如 $1\frac{1}{2}a$ 必须写成 $\frac{3}{2}a$ ，不能写成 $1\frac{1}{2}a$ ）。
除法的处理：代数式中出现除法运算时，通常写成分数形式（如 $a \div b$ 写成 $\frac{a}{b}$ ）。
单位名称：如果代数式是和/差形式且后面带有单位，必须把代数式整体用括号括起来再写单位，如 $(a + 5)$ 元。

求代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算顺序计算出的结果。
基本步骤：
- 代入：将指定的字母数值代入式中（注意：恢复省略的乘号；代入负数或分数时通常要加括号）。
- 计算：按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序计算。
整体代入技巧：有些题目不直接给出字母的具体值，而是给出某个整体（如已知 $a + b = 3$ ，求 $2(a+b) - 5$ 的值），此时应将已知代数式看作一个整体直接代入计算。

由数与字母的积构成的代数式，称为整式。整式分为单项式与多项式。

定义：只含有数与字母的乘积运算的代数式（单独的一个数或一个字母也是单项式）。
系数：单项式中的数字因数（包括前面的符号），如 $-3x^2y$ 的系数是 $-3$ 。
次数：单项式中所有字母的指数和。如 $-3x^2y$ 中 $x$ 的指数是 $2$ ， $y$ 的指数是 $1$ ，次数为 $2+1=3$ （三次单项式）。

定义：几个单项式的和叫做多项式。
项：组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项（必须包含项前面的符号）。不含字母的项叫做常数项。
次数：多项式中次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
- 例如：多项式 $2x^3 - 5x^2y + 7$ 共有 $3$ 项（分别为 $2x^3$ 、 $-5x^2y$ 、 $7$ ），最高项次数为 $3$ ，所以是三次三项式。

整式加减是代数计算的核心技能，其根本依据是去括号法则与合并同类项。

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（与字母顺序和系数无关；所有常数项也是同类项）。
合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。
- 示例： $3a^2b - 5a^2b = (3 - 5)a^2b = -2a^2b$

括号前面是“ $+$ ”号，把括号和它前面的“ $+$ ”号去掉，括号里各项的符号都不变：

$+(a - b + c) = a - b + c$
括号前面是“ $-$ ”号，把括号和它前面的“ $-$ ”号去掉，括号里各项的符号都要改变：

$-(a - b + c) = -a + b - c$

根据题意列出代数式（如果有多个多项式相加减，一定要加上括号）。
运用去括号法则去括号。
找出同类项并合并同类项。

分式与整式的区分：字母出现在分母上的式子（如 $\frac{1}{x}$ ）不是整式，属于分式。
$\pi$ 是常数而非字母：如单项式 $2\pi r$ ，其系数是 $2\pi$ ，次数是 $1$ （因为 $\pi$ 是常数，不参与次数的计算）。
去括号漏乘与变号错误：如 $-2(x - 3) = -2x + 6$ ，切忌漏乘常数项或忘记把 $-3$ 变成 $+6$ 。
多项式项的符号：在提取多项式的项或确定系数时，切记要把项前面的符号连同项一起看待。