平面图形的初步认识

直线、射线、线段

概念与特征

• 直线：用两个大写字母（如直线 $AB$）或一个小写字母（如直线 $l$）表示。没有端点，向两端无限延伸，不可度量。
• 射线：直线上一点和它一旁的部分。有一个端点，向一端无限延伸，不可度量。表示时端点字母必须写在前面（如射线 $OA$，其中 $O$ 为端点）。
• 线段：直线上两点间的部分。有两个端点，不延伸，可度量。两点间线段的长度叫做这两点之间的距离。

核心公理

• 直线的性质：两点确定一条直线。
• 线段的性质：两点之间，线段最短。

线段的中点

若点 $M$ 把线段 $AB$ 分成相等的两条线段 $AM$ 与 $BM$，则点 $M$ 叫做线段 $AB$ 的中点。

$\text{若 } M \text{ 是 } AB \text{ 的中点，则 } AM = BM = \frac{1}{2}AB \quad (\text{或 } AB = 2AM = 2BM)$

角

定义与度量

• 定义：有公共端点的两条射线组成的图形。这个公共端点叫做角顶，两条射线叫做角的边。角也可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。

• 度量单位：度（$^\circ$）、分（$^\prime$）、秒（$^{\prime\prime}$）。采用六十进制换算：

  $1^\circ = 60^\prime, \quad 1^\prime = 60^{\prime\prime}$

角的分类

• 锐角：大于 $0^\circ$ 且小于 $90^\circ$ 的角。
• 直角：等于 $90^\circ$ 的角。
• 钝角：大于 $90^\circ$ 且小于 $180^\circ$ 的角。
• 平角：等于 $180^\circ$ 的角（射线的反向延长线构成平角）。
• 周角：等于 $360^\circ$ 的角。

角的平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

余角与补角

• 余角：如果两个角的和等于 $90^\circ$，这两个角互为余角。同角或等角的余角相等。
• 补角：如果两个角的和等于 $180^\circ$，这两个角互为补角。同角或等角的补角相等。

相交线

对顶角与邻补角

• 对顶角：两条直线相交后，有一个公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角。对顶角相等。
• 邻补角：两条直线相交后，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角。邻补角互补（和为 $180^\circ$）。

垂线（特殊相交）

• 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
• 垂线性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
• 垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

平行线

定义与公理

• 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
• 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
• 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性：若 $a//b, b//c$，则 $a//c$）。

三线八角模型

两条直线被第三条直线所截，形成八个角，包含三种位置关系：

• 同位角：方位相同的角。
• 内错角：夹在两直线内部、且在截线两侧的角。
• 同旁内角：夹在两直线内部、且在截线同侧的角。

平行线的判定与性质

判定（由角定线）	性质（由线定角）
同位角相等，两直线平行	两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行	两直线平行，内错角相等
同旁内角互补，两直线平行	两直线平行，同旁内角互补

多边形

定义与相关概念

• 多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
• 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。从 $n$ 边形的一个顶点出发，可以引 $(n-3)$ 条对角线，共有 $\frac{n(n-3)}{2}$ 条对角线。
• 内角：多边形相邻两边组成的角。$n$ 边形共有 $n$ 个内角。
• 外角：多边形的边与相邻边的反向延长线所组成的角。在多边形的每个顶点处取一个外角， $n$ 边形共有 $n$ 个外角（每个内角与它相邻的外角互为邻补角，和为 $180^\circ$）。

核心公式与定理

• 多边形内角和定理：$n$ 边形的内角和等于：$(n - 2) \times 180^\circ$

• 多边形外角和定理：任意凸多边形的外角和恒等于：$360^\circ$

• 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形。其每一个内角为 $\frac{(n-2)\times 180^\circ}{n}$，每一个外角为 $\frac{360^\circ}{n}$。