反函数

如果原函数 $f$ 的作用是把输入 $x$ 加工成输出 $y$（即 $y = f(x)$），那么它的反函数 $f^{-1}$ 做的就是逆向还原的工作：给它 $y$，它能找回原来的 $x$（即 $x = f^{-1}(y)$）。

核心概念与符号表示

• 符号记法：原函数记作 $f(x)$，其反函数通常记作 $f^{-1}(x)$。（注意：$f^{-1}(x)$ 中的 $-1$ 是位置标记，绝不等于 $\frac{1}{f(x)}$）。

• 恒等关系：将一个值先代入原函数，再代入反函数，会变回原值（互为逆运算）：

  $f^{-1}(f(x)) = x$

  $f(f^{-1}(y)) = y$

存在条件

并不是所有函数都有反函数。

• 双射（一一对应 / Bijective）：原函数的每一个 $x$ 对应唯一的 $y$，且每一个 $y$ 也只能逆推回唯一的 $x$。

• 为什么需要“一一对应”？

  以 $y = x^2$ 为例：若 $y = 4$，逆推回去 $x$ 可能是 $2$ 或 $-2$。因为“一对多”不符合函数的定义，所以全定义域上的 $y = x^2$ 不存在反函数。

• 修补方案（限制定义域）：

  若限制 $x \ge 0$，此时 $y = x^2$ 满足一一对应，其反函数为 $y = \sqrt{x}$。

重要几何性质

在平面直角坐标系中，原函数 $y = f(x)$ 与反函数 $y = f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称。

• 点阵对应：若原函数图像经过点 $(a, b)$，则反函数图像必经过点 $(b, a)$。
• 定义域与值域互换：
  • 反函数的定义域 = 原函数的值域
  • 反函数的值域 = 原函数的定义域

常见函数及其反函数对照表

原函数 f(x)	反函数 f−1(x)	限制条件与说明
一次函数：$y = 2x + 3$	$y = \frac{x - 3}{2}$	全实数 $\mathbb{R}$
指数函数：$y = e^x$	对数函数：$y = \ln x$	反函数要求定义域 $x > 0$
幂函数：$y = x^3$	$y = \sqrt[3]{x}$	全实数 $\mathbb{R}$
三角函数：$y = \sin x$	反三角函数：$y = \arcsin x$	原函数需限制定义域 $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

求反函数的标准步骤与例题演示

例题：求函数 $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ （定义域 $x \neq 3$）的反函数。

1. 确认单调性与一一对应： 确保反函数合法。

   检查函数在其定义域内是否为严格单调函数。

   例题分析：$f(x)$ 在区间 $(-\infty, 3)$ 和 $(3, +\infty)$ 上均严格单调递减，满足一一对应，故存在反函数。此时原函数的值域为 $y \neq 2$。

2. 解出 x： 将 y = f(x) 变形为 x = g(y)。

   利用代数变换，把变量 $x$ 孤立在方程一边：

   • 去分母：$y(x - 3) = 2x + 1 \implies yx - 3y = 2x + 1$

   • 移项提公因式：$yx - 2x = 3y + 1 \implies x(y - 2) = 3y + 1$

   • 解得：$x = \frac{3y + 1}{y - 2}$

3. 互换 x 与 y： 习惯上用 x 表示自变量，y 表示因变量。

   将上式中的 $x$ 与 $y$ 对调：$y = \frac{3x + 1}{x - 2}$

4. 标明反函数的定义域： 防止产生无效解。

   反函数的定义域即为原函数的值域。

结论：因为原函数值域为 $y \neq 2$，故反函数定义域为 $x \neq 2$。

最终表达式为：$f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2} \quad (x \neq 2)$