复合函数

假设有两个函数 $f(u)$ 和 $g(x)$：

• 内层函数：$u = g(x)$
• 外层函数：$y = f(u)$

把 $g(x)$ 代入到 $f(u)$ 中，就得到了复合函数，记作：

$y = f(g(x)) \quad \text{或} \quad (f \circ g)(x)$

经典示例

为了清楚说明“组合”与“拆解”的过程：

复合函数 y=f(g(x))	外层函数 y=f(u)	内层函数 u=g(x)	计算示例（当 x=2 时）
$y = (2x + 1)^2$	$y = u^2$	$u = 2x + 1$	$u = 5 \implies y = 25$
$y = \sin(3x)$	$y = \sin(u)$	$u = 3x$	$u = 6 \implies y = \sin(6)$
$y = e^{-x^2}$	$y = e^u$	$u = -x^2$	$u = -4 \implies y = e^{-4}$

两大核心要素

定义域的限制

复合函数 $f(g(x))$ 要有意义，内层函数 $g(x)$ 的值域必须包含在外层函数 $f(u)$ 的定义域之内（或两者必须有交集）。

• 示例：设 $f(u) = \sqrt{u}$（要求 $u \ge 0$），$g(x) = -x^2 - 1$（值域为 $(-\infty, -1]$）。因为 $g(x)$ 永远为负数，无法传入 $f(u)$，所以 $f(g(x)) = \sqrt{-x^2 - 1}$ 在实数范围内无意义。

求导法则

对复合函数求导时，需要像剥洋葱一样从外向内逐层求导：

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

• 口诀：外层求导，内层不变；乘以内层求导。
• 练习：求 $y = \ln(x^2 + 1)$ 的导数：
  1. 外层求导：$\frac{1}{u} = \frac{1}{x^2 + 1}$
  2. 内层求导：$(x^2 + 1)' = 2x$
  3. 最终结果：$y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$

对应法则：复合函数解析式求解

求解复合函数解析式的核心在于理解对应法则的作用对象。根据已知条件的不同，主要分为以下两大经典类型：

类型一：知内求外（已知内层规则与复合结果，求外层规则）

解题核心： 将内层整体 $g(x)$ 视作一个新变量，剥离出外层法则 $f$。最常用换元法与凑配法。

方法 1：换元法（通用性强）

设内层整体 $g(x) = t$，反解出 $x = h(t)$ 代入表达式，最后将 $t$ 统一替换回目标变量。

⚠️ 避坑要点： 换元必换范围！必须先求出新变量 $t$ 的取值范围（即 $g(x)$ 的值域），这直接决定了 $f(x)$ 的定义域。

• 例题： 已知 $f(2x + 1) = 4x^2 + 6x + 5$，求 $f(x)$。

• 解析步骤：

  1. 设元换范围： 令 $t = 2x + 1$。因为 $x \in \mathbb{R}$，所以 $t \in \mathbb{R}$。

  2. 反解代入： 由 $t = 2x + 1$ 得 $x = \frac{t - 1}{2}$，代入原式：

     $f(t) = 4\left(\frac{t - 1}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{t - 1}{2}\right) + 5$

  3. 化简整理：

     $f(t) = (t^2 - 2t + 1) + (3t - 3) + 5 = t^2 + t + 3$

  4. 得出结论： $f(x) = x^2 + x + 3 \quad (x \in \mathbb{R})$。

方法 2：凑配法（适合结构明显的题目）

不显式设新变量，而是直接将等式右侧改写为包含“内层整体 $g(x)$”的结构，再作整体替换。

• 例题： 已知 $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^2 + \frac{1}{x^2}$，求 $f(x)$。

• 解析步骤：

  1. 变形凑配： 利用乘法公式拼凑内层结构：

     $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2$

  2. 限定范围： 根据均值不等式，当 $x \neq 0$ 时，$\left\vert{}x + \frac{1}{x}\right\vert{} \ge 2$，即整体取值范围为 $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。

  3. 整体替换： $f(x) = x^2 - 2 \quad (\vert{}x\vert{} \ge 2)$。

类型二：知外求内（已知外层规则与复合结果，求内层规则）

解题核心： 将未知内层 $g(x)$ 直接作为整体套用外层法则 $f$，转化为求解关于 $g(x)$ 的方程。

方法 1：方程法（代数直接法）

利用已知法则 $f$ 的运算逻辑，将 $g(x)$ 代入构建代数方程直接求解。

• 例题： 已知外层函数 $f(x) = 3x - 2$，且 $f(g(x)) = 6x^2 + 3x + 1$，求 $g(x)$。
• 解析步骤：
  1. 按规则作用： 根据 $f$ 的定义（对输入量做“3倍减2”操作），有 $f(g(x)) = 3g(x) - 2$。
  2. 建立方程： $3g(x) - 2 = 6x^2 + 3x + 1$。
  3. 求解目标： $3g(x) = 6x^2 + 3x + 3 \implies g(x) = 2x^2 + x + 1$。

方法 2：待定系数法（已知函数类型时使用）

若题目明确告知了 $g(x)$ 的函数类型（如一次函数、二次函数等），可先设出含待定系数的标准式，再对比等式两边的系数。

• 例题： 已知 $f(x) = x^2 + 1$，$g(x)$ 为一次函数，且 $f(g(x)) = 4x^2 - 12x + 10$，求 $g(x)$。

• 解析步骤：

  1. 设待定系数： 设 $g(x) = ax + b \quad (a \neq 0)$。

  2. 展开复合式：

     $f(g(x)) = (ax + b)^2 + 1 = a^2x^2 + 2abx + (b^2 + 1)$

  3. 对照系数列方程组：

     $\begin{cases} a^2 = 4 \\ 2ab = -12 \\ b^2 + 1 = 10 \end{cases}$

  4. 求解并校验： 解得 $\begin{cases} a = 2 \\ b = -3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a = -2 \\ b = 3 \end{cases}$。

  5. 得出结论： $g(x) = 2x - 3$ 或 $g(x) = -2x + 3$。

周期性

核心判断原则

1. 核心原则：若内层函数 $g(x)$ 是周期的，或外层与内层配合使得自变量移动一定距离后函数值重复，复合函数即具有周期性。
2. 非线性限制：若内层 $g(x)$ 为二次、根号或指数等非线性函数（且非周期），通常会破坏周期性。

四种常见类型与典型示例

内层函数 $g(x)$ 为周期函数

• 结论：若 $g(x)$ 周期为 $T_g$，则 $F(x) = f(g(x))$ 必为周期函数，$T_g$ 一定是它的一个周期。
• 注意：外层的对称性（如取绝对值、二次方）可能导致周期变小/折半。

场景	典型示例	周期分析
周期保持不变	$y = e^{\sin x}$	内层 $\sin x$ 周期为 $2\pi$；外层 $e^u$ 无对称性。 $\implies T = 2\pi$
周期折半	$y = \vert{}\cos x\vert{}$	内层 $\cos x$ 周期为 $2\pi$；外层 $\vert{}u\vert{}$ 将负半周折到正半轴。 $\implies T = \pi$
周期折半	$y = \sin^2 x$	内层 $\sin x$ 周期为 $2\pi$；外层 $u^2$ 改变了正负重叠律。 $\implies T = \pi$

内层为线性函数 $g(x) = \omega x + \phi$

• 结论：若外层 $f(u)$ 周期为 $T_f$，则 $F(x) = f(\omega x + \phi)$ 的最小正周期为：

  $T = \frac{T_f}{\vert{}\omega\vert{}}$

场景	典型示例	周期计算
具体三角函数	$y = \tan\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$	外层 $\tan u$ 的 $T_f = \pi$，$\omega = 3$。 $\implies T = \frac{\pi}{3}$
抽象函数	$g(x) = f(1 - 2x)$ （已知 $f(x)$ 周期为 $6$）	外层 $T_f = 6$，$\omega = -2$。 $\implies T = \frac{6}{\vert{}-2\vert{}} = 3$

外层为周期函数，内层为非线性非周期函数

• 结论：自变量间隔变化不均匀（波形变密或变稀），通常不是周期函数。

典型示例	图像特征与判定
$y = \sin(x^2)$	零点间隔 $\sqrt{(k+1)\pi} - \sqrt{k\pi}$ 越来越小（波形越来越密集）$\implies$ 非周期函数
$y = \cos(\sqrt{x})$	波峰出现间隔越来越大（波形越来越稀疏）$\implies$ 非周期函数

抽象复合关系的周期推导（对称性推导）

利用函数图像的对称性（对称轴、对称中心、倒数或相反数）可推导周期 $T$：

抽象关系式	对称性 / 几何特征	最小正周期 T	典型推导示例
$f(x+a) = -f(x)$	综合对称	$T = 2\vert{}a\vert{}$	$f(x+4) = -f(x) \implies f(x+8) = f(x) \implies T = 8$
$f(x+a) = \frac{1}{f(x)}$	倒数关系	$T = 2\vert{}a\vert{}$	$f(x+2) = \frac{1}{f(x)} \implies f(x+4) = \frac{1}{f(x+2)} = f(x) \implies T = 4$
轴 $x=a$ 与 轴 $x=b$	双对称轴	$T = 2\vert{}a - b\vert{}$	轴 $x=1$ 与 轴 $x=3 \implies T = 2\vert{}3-1\vert{} = 4$
中心 $(a,0)$ 与 中心 $(b,0)$	双对称中心	$T = 2\vert{}a - b\vert{}$	中心 $(1,0)$ 与 中心 $(4,0) \implies T = 2\vert{}4-1\vert{} = 6$
轴 $x=a$ 与 中心 $(b,0)$	一轴一中心	$T = 4\vert{}a - b\vert{}$	轴 $x=1$ 与 中心 $(3,0) \implies T = 4\vert{}3-1\vert{} = 8$