反三角函数

对于反三角函数公式 $y = f^{-1}(x)$，我们可以这样拆解它的核心要素：

1. 输入值 $x$：三角函数的比值（线段长度的比值，是一个纯数字）。
2. 输出值 $y$：一个弧度值/角度（在严格的函数定义中，它是一个实数，对应弧度制）。
3. 约束条件：输出的 $y$ 必须落在规定的主值区间内。

为什么需要限制“值域”？

这是学习反三角函数时最容易让人头疼的地方。因为三角函数是周期函数（例如 $\sin(30^\circ)=0.5$、$\sin(150^\circ)=0.5$、$\sin(390^\circ)=0.5$），如果我们问：“哪个角度的正弦值是 $0.5$？”，答案会有无数个。

为了让反三角函数变成一个合格的函数（即保证单值对应：输入一个值，只能得到一个确定的输出），数学家们硬性规定了一段单调区间作为范围，称为主值区间。

以下是六个反三角函数的完整对照表：

函数名称	符号表示	读作	含义	定义域（输入 x）	值域/主值范围（输出角度 y）
反正弦	$\arcsin x$ 或 $\sin^{-1}x$	Arc-sine	哪个角度的正弦值是 $x$？	$[-1, 1]$	$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 即 $[-90^\circ, 90^\circ]$
反余弦	$\arccos x$ 或 $\cos^{-1}x$	Arc-cosine	哪个角度的余弦值是 $x$？	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$ 即 $[0^\circ, 180^\circ]$
反正切	$\arctan x$ 或 $\tan^{-1}x$	Arc-tangent	哪个角度的正切值是 $x$？	$\mathbb{R}$（全体实数）	$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 即 $(-90^\circ, 90^\circ)$
反余切	$\text{arccot } x$ 或 $\cot^{-1}x$	Arc-cotangent	哪个角度的余切值是 $x$？	$\mathbb{R}$（全体实数）	$(0, \pi)$ 即 $(0^\circ, 180^\circ)$
反正割	$\text{arcsec } x$ 或 $\sec^{-1}x$	Arc-secant	哪个角度的正割值是 $x$？	$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$	$\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 即 $[0^\circ, 90^\circ) \cup (90^\circ, 180^\circ]$
反余割	$\text{arccsc } x$ 或 $\csc^{-1}x$	Arc-cosecant	哪个角度的余割值是 $x$？	$(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$	$\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 即 $[-90^\circ, 0^\circ) \cup (0^\circ, 90^\circ]$

图像特征

💡 图像小贴士：反三角函数的图像与其对应的三角函数（限制定义域后）关于直线 $y=x$ 对称。

反正弦函数 $y = \arcsin x$

反余弦函数 $y = \arccos x$

反正切函数 $y = \arctan x$

反余切函数 $\text{arccot } x$

反正割函数 $\text{arcsec } x$

反余割函数 $\text{arccsc } x$