三角函数

从直角三角形说起

在直角三角形中，假设有一个锐角 $\theta$。以这个角为基准，三角形的三条边分别被称为：

• 对边（Opposite, $a$）：角 $\theta$ 正对着的边。
• 邻边（Adjacent, $b$）：角 $\theta$ 紧挨着的直角边。
• 斜边（Hypotenuse, $c$）：直角三角形中最长的边（直角正对着的边）。

通过这些边的比值，我们定义了最基础的三个三角函数：

函数名称	缩写	核心公式	几何直观解释
正弦 (Sine)	$\sin\theta$	$\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$	对边占斜边的比例
余弦 (Cosine)	$\cos\theta$	$\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$	邻边占斜边的比例
正切 (Tangent)	$\tan\theta$	$\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$	直线的斜率（坡度）

还有三个衍生函数（倒数关系），分别是余切（Cotangent，$\cot\theta = 1/\tan\theta$，即余角正切）、正割（Secant，$\sec\theta = 1/\cos\theta$，源于“割线”）和余割（Cosecant，$\csc\theta = 1/\sin\theta$，即余角正割）。

单位圆与任意角的延伸

直角三角形的局限在于，角 $\theta$ 必须在 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 之间。为了研究任意大小的角（甚至是负角），数学家引入了单位圆（半径为 1，圆心在原点的圆）。

在直角坐标系中，让一条射线从 $X$ 轴正方向开始逆时针旋转角 $\theta$，它与单位圆交于点 $P(x, y)$：

• $\cos\theta$ 对应交点 $P$ 的 $x$ 坐标。
• $\sin\theta$ 对应交点 $P$ 的 $y$ 坐标。
• $\tan\theta$ 对应过点 $(1,0)$ 的单位圆切线上切段的纵坐标，物理意义即为该射线的斜率。

定义域与值域

正弦

• 定义域： $x \in (-\infty, +\infty)$
• 值域： $y \in [-1, 1]$
  • 当 $x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ 时，函数取得最大值 $y_{\max} = 1$。
  • 当 $x = 2k\pi - \frac{\pi}{2}$ 时，函数取得最小值 $y_{\min} = -1$。
• 单调性：
  • 单调递增区间： $[2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}], k \in \mathbb{Z}$
  • 单调递减区间： $[2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2}], k \in \mathbb{Z}$
• 对称性：
  • 关于点 $(k\pi, 0)$ 呈中心对称。
  • 关于直线 $x = k\pi + \frac{\pi}{2}$ 呈轴对称。

余弦

• 定义域： $x \in (-\infty, +\infty)$
• 值域： $y \in [-1, 1]$
  • 当 $x = 2k\pi$ 时，函数取得最大值 $y_{\max} = 1$。
  • 当 $x = 2k\pi + \pi$ 时，函数取得最小值 $y_{\min} = -1$。
• 单调性：
  • 单调递增区间： $[2k\pi - \pi, 2k\pi], k \in \mathbb{Z}$
  • 单调递减区间： $[2k\pi, 2k\pi + \pi], k \in \mathbb{Z}$
• 对称性：
  • 关于点 $(k\pi + \frac{\pi}{2}, 0)$ 呈中心对称。
  • 关于直线 $x = k\pi$ 呈轴对称（因为它是偶函数，所以 $Y$ 轴即 $x=0$ 是一条对称轴）。

正切

• 定义域： $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}$（在这些断点处，函数有垂直渐近线）
• 值域： $y \in (-\infty, +\infty)$（无最大值和最小值）
• 单调性：
  • 单调递增区间： 在每一个开区间 $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2}), k \in \mathbb{Z}$ 内都是严格单调递增的。
  • 注意：不能说正切函数在整个定义域上单调递增，因为在断点处存在跃变。
• 对称性：
  • 关于点 $(\frac{k\pi}{2}, 0), k \in \mathbb{Z}$ 呈中心对称。
  • 无对称轴。

余割

• 定义域： $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$
• 值域： $y \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
  • 当 $x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ 时，函数取得局部极小值 $y_{\min} = 1$。
  • 当 $x = 2k\pi - \frac{\pi}{2}$ 时，函数取得局部极大值 $y_{\max} = -1$。
• 单调性：
  • 单调递增区间： $[2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \pi)$ 和 $(2k\pi + \pi, 2k\pi + \frac{3\pi}{2}], k \in \mathbb{Z}$
  • 单调递减区间： $[2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi)$ 和 $(2k\pi, 2k\pi + \frac{\pi}{2}], k \in \mathbb{Z}$
• 对称性：
  • 关于点 $(k\pi, 0), k \in \mathbb{Z}$ 呈中心对称（注：该点在定义域外，对应渐近线交点）。
  • 关于直线 $x = k\pi + \frac{\pi}{2}$ 呈轴对称。

正割

• 定义域： $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}$
• 值域： $y \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
  • 当 $x = 2k\pi$ 时，函数取得局部极小值 $y_{\min} = 1$。
  • 当 $x = 2k\pi + \pi$ 时，函数取得局部极大值 $y_{\max} = -1$。
• 单调性：
  • 单调递增区间： $[2k\pi, 2k\pi + \frac{\pi}{2})$ 和 $(2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \pi], k \in \mathbb{Z}$
  • 单调递减区间： $[2k\pi - \pi, 2k\pi - \frac{\pi}{2})$ 和 $(2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi], k \in \mathbb{Z}$
• 对称性：
  • 关于点 $(k\pi + \frac{\pi}{2}, 0), k \in \mathbb{Z}$ 呈中心对称（注：该点在定义域外，对应渐近线交点）。
  • 关于直线 $x = k\pi$ 呈轴对称（它是偶函数，以 $Y$ 轴即 $x = 0$ 为轴对称）。

余切

• 定义域： $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$
• 值域： $y \in (-\infty, +\infty)$（无最大值和最小值）
• 单调性：
  • 单调递增区间： 无。
  • 单调递减区间： $(k\pi, k\pi + \pi), k \in \mathbb{Z}$（注意：由于断点，不可写成整个定义域单调递减）
• 对称性：
  • 关于点 $(\frac{k\pi}{2}, 0), k \in \mathbb{Z}$ 呈中心对称。
  • 无对称轴。

核心公式与核心性质

在实际应用和解题中，有几个化简和计算的黄金公式必须掌握：

同角三角平方和

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

两角和差公式

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

二倍角公式

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$

降幂公式

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$

这两个公式（降幂公式）是由余弦的二倍角公式 $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ 直接推导出来的：

1. 证明第一式：代入 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$，得 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$，移项即得 $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$。
2. 证明第二式：代入 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$，得 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$，移项即得 $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$。

基本恒等式

$\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$

证明： 在同角三角平方和 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 两边同时除以 $\cos^2\theta$：

$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}$

代入定义 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 与 $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$，即得：$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$。

$\csc^2\theta = 1 + \cot^2\theta$

说明： 同理，在 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 两边同时除以 $\sin^2\theta$ 即可证得此式。