函数求导法则

函数求导法则是一套求导运算规则，利用它可以不用定义极限，直接对加减乘除、复合等形式的函数快速计算导数。

January 1, 1996 专转本 1 分钟阅读

函数求导的核心，是将复杂函数的导数拆解为基础函数导数的组合。无论是简单的加减乘除，还是高阶导数，本质上都在回答同一个问题：“当自变量微小变化时，函数值变化的速率是如何叠加或传递的？”

设 $u = u(x)$ 和 $v = v(x)$ 均为可导函数。

$\frac{d}{dx}[u \pm v] = u' \pm v'$

直观理解：两个变化量叠加，总变化率就是各自变化率的直接相加（减）。几何上代表两个曲线在 $y$ 轴方向上的垂直平移叠加。

$\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u'v + uv'$

几何直观

想象一个长为 $u$ 、宽为 $v$ 的矩形，面积为 $A = u \cdot v$ 。

当 $x$ 有微小增加 $\Delta x$ 时，长增加 $\Delta u$ ，宽增加 $\Delta v$ ：

面积增加量 $\Delta A \approx (\Delta u) \cdot v + u \cdot (\Delta v)$ （忽略极小的右下角角块 $\Delta u \Delta v$ ）。

两边除以 $\Delta x$ 取极限，即得到 “导前乘后 + 导后乘前”。

$\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)$

推导巧思（运用乘法法则与链式法则）：

将 $\frac{u}{v}$ 写成 $u \cdot v^{-1}$ ，应用乘法法则：

$\frac{d}{dx}[u \cdot v^{-1}] = u'(v^{-1}) + u \cdot (-1 \cdot v^{-2} \cdot v') = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
记忆口诀：“分母平方，分子导分母减去分母导分子”。

函数的导数 $y' = f'(x)$ 本身依然是一个关于 $x$ 的函数。既然它是函数，我们就可以对它再次求导：

一阶导数 $f'(x)$ ：原函数 $f(x)$ 的变化率。
二阶导数 $f''(x)$ ：一阶导数 $f'(x)$ 的变化率（即变化率的变化率）。
三阶导数 $f'''(x)$ ：二阶导数 $f''(x)$ 的变化率。
……
$n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ ：将求导这个动作连续重复进行 $n$ 次。

符号约定：当阶数达到 4 阶及以上时，为了避免写一长串撇号 ' 容易看错，通常将阶数写在括号里，如 $f^{(4)}(x)$ 或 $y^{(n)}$ 。

高阶导数表示“变化的速率的变化速率”（如位置的二阶导数是加速度）。对四则运算求高阶导数，其规律更加深刻。

高阶导数对加减法依然保持线性：

$(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}$

乘法的 $n$ 阶导数不能简单地逐项求导，而是呈现出与二项式定理完全相同的结构：

$(u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

其中 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是组合数。

对比二项式展开

$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \dots + \binom{n}{n}b^n$

$(uv)^{(n)} = \binom{n}{0}u^{(n)}v + \binom{n}{1}u^{(n-1)}v' + \binom{n}{2}u^{(n-2)}v'' + \dots + \binom{n}{n}uv^{(n)}$

典型示例：

一阶： $(uv)' = u'v + uv'$
二阶： $(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''$
三阶： $(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''$

实战应用建议：当求 $f(x) = x^2 e^x$ 的 $n$ 阶导数时，选择求导几次后就会变成 $0$ 的项（如 $x^2$ ）作为 $v$ ，展开式会在几项后自动截断，大大简化计算。