各类函数求导

系统梳理一元函数求导的核心法则，包含复合函数、隐函数、幂指函数、参数方程、分段函数求导及微分概念，助力快速掌握求导工具。

January 1, 1996 专转本 2 分钟阅读

当函数是层层嵌套的形式（如 $y = f(g(x))$ ）时，求导就像剥洋葱，从外层向内层逐层求导相乘。

如果 $y = f(u)$ 且 $u = g(x)$ ，则：

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

求 $y = \sin(x^2)$ 的导数：

外层函数 $y = \sin u$ ，导数为 $\cos u$
内层函数 $u = x^2$ ，导数为 $2x$
组合： $y' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$

很多时候变量 $x$ 和 $y$ 混合在方程里（如 $x^2 + y^2 = 1$ ），无法直接写成 $y = f(x)$ 的显式形式。此时无需硬解出 $y$ ，只需两边同时对 $x$ 求导。

将 $y$ 看作 $x$ 的函数（即 $y = y(x)$ ）。
遇到含 $y$ 的项求导时，必须应用链式法则：例如 $(y^2)' = 2y \cdot y'$ 。
整理方程，解出 $y'$ （即 $\frac{dy}{dx}$ ）。

对 $x^2 + y^2 = 1$ 求导：

两边同时对 $x$ 求导： $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(1)$
得出： $2x + 2y \cdot y' = 0$
解出： $y' = -\frac{x}{y}$

形式为 $y = u(x)^{v(x)}$ （底数和指数同时含有自变量 $x$ ）。这类函数不能直接用幂函数或指数函数公式，通常有两种解法：

两边取自然对数： $\ln y = v(x) \cdot \ln u(x)$
利用隐函数求导法对两边求导： $\frac{1}{y} \cdot y' = [v(x) \cdot \ln u(x)]'$
两边同乘以 $y$ 解出 $y'$ 。

利用 $a = e^{\ln a}$ 改写： $y = e^{v(x) \cdot \ln u(x)}$ ，再直接按复合指数函数求导。

求 $y = x^x$ 的导数：

取对数： $\ln y = x \ln x$
两边求导： $\frac{1}{y} y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
得出： $y' = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$

当曲线由参数方程确定： $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$

基于复合函数与反函数求导法则： $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \quad (\text{要求 } \varphi'(t) \neq 0)$

二阶导数是“一阶导数对 $x$ 再次求导”，必须重新应用链式法则： $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}$

避坑提醒：千万不能简单地将二阶导数写成纵坐标对参数求两次导除以横坐标对参数求两次导！

分段函数 $f(x)$ 需严格区分区间内部（开区间）与分段点：

区间内部：直接使用对应区间内的初等函数求导公式。
分段点 $x_0$ 处：必须使用导数的定义求左右导数。
- 左导数： $f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
- 右导数： $f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
- 可导判定：当且仅当 $f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$ 存在且相等时， $f'(x_0)$ 才存在。

前提条件：函数在分段点处必须先满足连续。若不连续，则在分段点处必然不可导。

导数 $\frac{dy}{dx}$ ：反映函数在某点处变化率的“快慢”（切线斜率）。
微分 $dy$ ：反映自变量产生微小增量 $dx$ 时，函数值的线性主要增量。

设 $y = f(x)$ 在点 $x$ 处可导，当自变量有增量 $dx$ （即 $\Delta x$ ）时，函数的微分为： $dy = f'(x) dx$

在几何上， $dy$ 代表切线上的纵坐标增量，而 $\Delta y$ 代表曲线上真实的纵坐标增量。当 $dx \to 0$ 时， $dy$ 是 $\Delta y$ 的高阶无穷小外的最佳线性近似，即： $\Delta y \approx dy$