函数的连续性

核心定义与判定条件

要判断函数 $f(x)$ 在点 $x = a$ 处是否连续，必须同时满足以下三个条件：

1. 有定义：函数在该点有意义，即 $f(a)$ 存在。

2. 有极限：当 $x$ 趋近于 $a$ 时，极限 $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在。

3. 极限等于函数值：极限值必须等于该点的函数值，即：

   $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

拆解：左连续与右连续

判断极限是否存在时，通常需要分析单侧逼近的情况：

• 左连续：从左侧逼近的极限等于函数值，即 $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$
• 右连续：从右侧逼近的极限等于函数值，即 $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$

判定定理：

函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处连续，当且仅当它在该点既左连续，又右连续。

间断点的类型

如果上述三个条件中有任何一个不满足，点 $x = a$ 就是函数的间断点：

间断点类型	条件特征	图像表现
可去间断点	极限存在，但在该点无定义，或极限值不等于函数值。	连续曲线上存在空心点。
跳跃间断点	左极限与右极限均存在，但不相等。	图像在该点断开，出现阶梯状落差。
无穷间断点	当 $x \to a$ 时，函数值趋近于无穷大。	图像贴着垂直渐近线无限延伸。

初等函数的连续性与应用

连续性的运算性质

如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，那么：

• 四则运算：$f(x) \pm g(x)$、$f(x) \cdot g(x)$、$\frac{f(x)}{g(x)}$（当分母 $g(x_0) \neq 0$ 时）在该点依然连续。
• 复合运算：若 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且 $f(u)$ 在 $u_0 = g(x_0)$ 处连续，则复合函数 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 处连续。

基本定理

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成的初等函数，在其定义区间内都是连续的。

解题应用

利用上述性质，在计算初等函数在定义域内某点 $a$ 的极限时，可以直接将 $a$ 代入函数公式求解：

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

闭区间上连续函数的定理

当函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续时，具备以下数学定理：

• 最大最小值定理：函数在 $[a, b]$ 上必定能取得最大值和最小值。
• 介值定理：函数在 $[a, b]$ 上可以取到介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任何数值。
• 零点定理：若 $f(a) \cdot f(b) < 0$（异号），则在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$，使得 $f(c) = 0$。