函数极限运算法则与计算

系统梳理函数极限的四则运算法则与复合运算法则，汇总求解未定式极限的 7 种核心计算方法与常见易错点。

January 1, 1996 专转本 1 分钟阅读

函数极限运算法则（也称极限的四则运算法则）是求解复杂函数极限的最基础、最关键的工具。

前提条件：假设当 $x \to x_0$ （或 $x \to \infty$ ）时，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限均存在，且分别为：

$\lim f(x) = A, \quad \lim g(x) = B$

在此前提下，以下法则成立：

加减法则： $\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B$
乘法法则： $\lim [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = A \cdot B$ $lim [f (x) \cdot g (x)] = lim f (x) \cdot lim g (x) = A \cdot B$
- 推论（常数提取）： $\lim [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim f(x) = c A$ （其中 $c$ 为常数）
- 推论（乘方）： $\lim [f(x)]^n = [\lim f(x)]^n = A^n$ （ $n$ 为正整数）
除法法则：若 $B \neq 0$ ，则 $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}$

注意：只有当拆分后的各个子极限都存在时，四则运算法则才能拆开使用。

在实际计算中，直接代入往往会遇到 未定式（如 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0 \cdot \infty$ ），需要根据不同类型采用相应的方法：

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，直接代入即可：

$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1) = 2^2 + 3(2) - 1 = 9$

当分子分母在 $x \to x_0$ 时均为 0，通过因式分解约去零因子 $(x - x_0)$ ：

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$

利用平方差公式消去根号：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{1}{2}$

自变量趋于无穷（ $x \to \infty$ ）时，分子分母同时除以最高次幂：

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{5 - \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{5 - 0} = \frac{2}{5}$

重要极限一： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ （解决三角函数的 $\frac{0}{0}$ 型）
重要极限二： $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ 或 $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ （解决 $1^\infty$ 型）

符号说明：~（波浪号，Tilde）读作 “等价于”，表示当 $x \to 0$ 时，符号左右两侧的表达式为等价无穷小（即两者的比值极限等于 1）。

当 $x \to 0$ 时，常用等价替换：

$\sin x \sim x$
$\tan x \sim x$
$e^x - 1 \sim x$
$\ln(1+x) \sim x$
$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$

法则：等价无穷小只能在乘除法中替换，加减法中不可直接替换。

适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 未定式，若分子分母均可导且导数比值的极限存在：

$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$