无穷小的比较

无穷小的比较是指在同一极限过程中，通过计算两个无穷小量之比的极限，来衡量它们趋近于零的相对速度。

设在同一极限过程（如 $x \to x_0$ 或 $x \to \infty$）中，$\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 均为无穷小量，且 $\alpha(x) \neq 0$。记它们的比值极限为：

$L = \lim \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$

相对阶数分类

根据极限 $L$ 的结果，无穷小之间的关系分为以下几类：

1. 高阶无穷小：若 $L = 0$，称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 更高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$。说明 $\beta$ 趋于 0 的速度比 $\alpha$ 更快。
2. 低阶无穷小：若 $L = \infty$，称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 更低阶的无穷小。说明 $\beta$ 趋于 0 的速度比 $\alpha$ 更慢。
3. 同阶无穷小：若 $L = C \neq 0$（$C$ 为常数），称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小，说明两者趋于 0 的速度处于同一数量级。
4. 等价无穷小：若 $L = 1$，称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

当 $x \to 0$ 时的常用等价无穷小

在极限制算中，熟记常见的等价无穷小可以大幅简化计算：

• $\sin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $\arcsin x \sim x$
• $\arctan x \sim x$
• $e^x - 1 \sim x$
• $\ln(1+x) \sim x$
• $a^x - 1 \sim x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)$
• $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
• $(1+x)^a - 1 \sim ax$

等价无穷小代换定理及运算法则

代换定理：若在同一极限过程中，$\alpha \sim \alpha'$ 且 $\beta \sim \beta'$，且 $\lim \frac{\alpha'}{\beta'}$ 存在，则：

$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha'}{\beta'}$

计算时的注意事项：

• 乘除法因子可直接代换：当无穷小量作为整个分子或分母的乘积/商的因子时，可以直接替换。

  例如：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\ln(1+3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

• 加减法项不可随意代换：若无穷小处于加减运算法则中（如 $\alpha - \beta$），直接用等价无穷小替换可能会导致最高阶项抵消，从而得出错误结论。加减法的无穷小处理通常需改用泰勒公式（Taylor Series）展开到足够高阶项后再计算。