参数方程

基本定义

对于平面曲线，如果坐标 $x$ 和 $y$ 分别表示为同一个参数 $t$ 的函数：

$\begin{cases} x = \phi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} \quad (t \in D)$

当 $t$ 在定义域 $D$ 内变化时，动点 $P(x, y)$ 在平面上扫过的轨迹就形成一条曲线。

如果函数 $x = \phi(t)$ 在区间内严格单调且可导，则存在反函数 $t = \phi^{-1}(x)$，代入 $y = \psi(t)$ 中即可得到直角坐标下的隐式或显式函数关系：

$y = \psi\left(\phi^{-1}(x)\right)$

因此，这种由参数方程确定的 $y$ 与 $x$ 的关系称为由参数方程表示的函数。

为什么需要参数方程？

相比于传统的显式函数 $y = f(x)$，参数方程具有以下几个不可替代的优势：

• 突破“一对一”函数的局限：显式函数要求一个 $x$ 只能对应一个 $y$。但在描述圆、椭圆或自交曲线时，一个 $x$ 可能对应多个 $y$。参数方程能以单一形式完美表达这些多值曲线。
• 物理意义明确：若将参数 $t$ 视为时间，$x(t)$ 与 $y(t)$ 分别为质点在两个维度上的位置，参数方程能直接描述物体的运动轨迹与速度矢量。
• 极大地简化复杂几何曲线：许多在直角坐标系下极其复杂的代数方程，转化为参数方程后形式会变得非常简洁流畅。

常见典型曲线

曲线名称	参数方程形式	直角坐标消参后
圆	$\begin{cases} x = r\cos t \\ y = r\sin t \end{cases} \; (t \in [0, 2\pi])$	$x^2 + y^2 = r^2$
椭圆	$\begin{cases} x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases} \; (t \in [0, 2\pi])$	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
摆线（旋轮线）	$\begin{cases} x = r(t - \sin t) \\ y = r(1 - \cos t) \end{cases}$	无简单显式解
星形线	$\begin{cases} x = a\cos^3 t \\ y = a\sin^3 t \end{cases}$	$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$