分段函数

表达形式

在数学中，分段函数通常用大括号组合表达：

$f(x) = \begin{cases} g(x), & x \in D_1 \\ h(x), & x \in D_2 \\ k(x), & x \in D_3 \end{cases}$

其中：

• $D_1, D_2, D_3$ 是自变量 $x$ 的不同取值区间，且互不重叠。
• $g(x), h(x), k(x)$ 分别代表各自区间内的计算法则。

核心特征

概念	说明	注意事项
定义域	各分段区间的并集	$D = D_1 \cup D_2 \cup D_3$
值域	各分段函数在对应区间上求得的域的并集	需要分别计算各段取值再合并
分界点（临界点）	规则发生改变的 $x$ 取值点	判断连续性和可导性的核心关注点

关键提醒：

1. 分段函数是一个函数，求值或画图时须先判断自变量 $x$ 落在哪个区间，再代入对应解析式。
2. 分界点处开闭区间（即含不含等于号）不能重叠，避免出现“一个 $x$ 对应多个 $y$”违背函数定义的状况。

生活中的分段函数

1. 出租车计费： 起步价（如 3 公里内 10 元），超过 3 公里后按每公里 2 元加收。
2. 阶梯电费/水费： 用量越多，超出的部分单价越贵。
3. 个人所得税： 收入处于不同区间对应不同的税率。

经典数学例子

绝对值函数

最基础的分段函数：

$f(x) = \vert{}x\vert{} = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

符号函数（Signum Function）

用于表示实数的正负性：

$\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$