导数的概念及求导公式

导数（Derivative）是微积分中的核心概念，本质上描述的是变量变化的瞬时变化率。

函数在某点处的导数

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处产生增量 $\Delta x$ 时，函数值相应地产生增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。

如果增量比值 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 在 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，该极限值称为在 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$、$\left.y'\right\vert{}_{x=x_0}$ 或 $\left.\frac{dy}{dx}\right\vert{}_{x=x_0}$。

极限表达式为：

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

或者等价地写成（设 $x = x_0 + \Delta x$）：

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

左导数与右导数

导数本质上是一个极限。根据极限存在的充要条件（左右极限存在且相等），函数在某点可导也必须满足单侧导数的相等条件。

定义

• 左导数（Left Derivative）：自变量从 $x_0$ 左侧趋近于 $x_0$（即 $\Delta x < 0$）时的单侧极限。

  $f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

• 右导数（Right Derivative）：自变量从 $x_0$ 右侧趋近于 $x_0$（即 $\Delta x > 0$）时的单侧极限。

  $f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

可导的充要条件

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是：左导数 $f'_-(x_0)$ 与右导数 $f'_+(x_0)$ 均存在且相等。

$f'(x_0) \text{ 存在 } \iff f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$

典型应用（分段函数与尖点）：

对于分段函数或带绝对值的函数（如 $f(x) = \vert{}x\vert{}$ 在 $x=0$ 处）：

• 左导数 $f'_-(0) = -1$
• 右导数 $f'_+(0) = 1$

左右导数不相等，因此 $f(x) = \vert{}x\vert{}$ 在 $x=0$ 处不可导（图像上形成了一个“尖点”角点）。

导函数

当我们在一个区间内的每个可导点 $x$ 上都求出其导数值 $f'(x)$ 时，这就构成了一个新的函数，称为 导函数（Derivative Function），简称 导数。

定义

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 内的每一点都可导，对区间内任意 $x$，都有唯一的导数值 $f'(x)$ 与之对应，这个映射关系即为导函数：

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

常用的记号：$f'(x)$、$y'$、$\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{d}{dx}f(x)$。

“某点处的导数”与“导函数”的关系

• 导函数 $f'(x)$ 是一个函数，它给出了任意位置 $x$ 的变化率规律。
• 某点处的导数 $f'(x_0)$ 是一个数值，它是导函数 $f'(x)$ 在特定点 $x = x_0$ 处的函数值，即 $f'(x_0) = \left.f'(x)\right\vert{}_{x=x_0}$。

基本初等函数的导数公式

在实际计算中，我们不需要每次都用极限定义去推导，通常直接调用基础函数的导数公式表：

函数类别	原函数 f(x)	导函数 f′(x)	备注说明
常数函数	$c$	$0$	静态数值没有变化率
幂函数	$x^n$	$n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$（如 $\frac{1}{x} = x^{-1} \to -\frac{1}{x^2}$）
指数函数	$e^x$	$e^x$	自然底数 $e$ 导数保持不变
	$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
对数函数	$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$x > 0$
	$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$	$a > 0, a \neq 1, x > 0$
三角函数	$\sin x$	$\cos x$	正弦变余弦
	$\cos x$	$-\sin x$	余弦变负正弦
	$\tan x$	$\sec^2 x$	正切变割线的平方
反三角函数	$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\vert{}x\vert{} < 1$
	$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	全实数域