利用函数单调性证明不等式

利用函数单调性证明不等式，核心是构造恰当的辅助函数，通过求导判断该函数在指定区间上的增减性，再结合区间端点的函数值，推导出所要证明的不等式关系。

January 1, 1996 专转本 1 分钟阅读

利用函数的单调性证明不等式的核心逻辑非常直观：

要用单调性证明不等式 $A(x) > B(x)$ （在区间 $I$ 上），通常遵循以下四大步骤：

构造辅助函数：将不等式移项，令 $f(x) = A(x) - B(x)$ 。此时目标转化为证明 $f(x) > 0$ 。
确定作用区间：明确变量 $x$ 的取值范围 $I$ （注意定义域和开闭区间）。
判定函数单调性：
- 初等方法：利用单调性定义（如 $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ ）或已知基本初等函数的单调性。
- 导数法（最常用）：求导数 $f'(x)$ $f^{'} (x)$ 。
  - 若在区间上 $f'(x) \ge 0$ （且不恒等于 $0$ ），则 $f(x)$ 为单调递增；
  - 若在区间上 $f'(x) \le 0$ （且不恒等于 $0$ ），则 $f(x)$ 为单调递减。
代入基准点求值并得出结论：
- 若 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上单调递增，且 $f(a) = 0$ ，则当 $x > a$ 时， $f(x) > f(a) = 0$ 。
- 若 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上单调递减，且 $f(b) = 0$ ，则当 $x < b$ 时， $f(x) > f(b) = 0$ 。

证明当 $x > 0$ 时， $\ln(1+x) < x$

证明过程：

第一步：构造辅助函数

移项，设 $f(x) = x - \ln(1+x)$ 。

目标是证明：当 $x > 0$ 时， $f(x) > 0$ 。
第二步：确定区间

区间为 $(0, +\infty)$ ，函数在 $[0, +\infty)$ 上连续。
第三步：求导判单调

对 $f(x)$ 求导：

$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$

因为 $x > 0$ ，所以 $x > 0$ 且 $1+x > 0$ ，故：

$f'(x) > 0$

这说明 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上是单调递增的。
第四步：比较基准点得出结论

计算端点值： $f(0) = 0 - \ln(1+0) = 0$ 。

因为 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增，所以当 $x > 0$ 时：

$f(x) > f(0) = 0$

即：

$x - \ln(1+x) > 0 \implies \ln(1+x) < x$

证毕。

解题框架